GBO003 問題8

薄いレンズでは、物体距離 $a$ 、像距離 $b$ 、焦点距離 $f$ の間に、

\frac{1}{f} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}

が成り立ちます。

像距離 $b$ について整理すると、

\begin{aligned} \frac{1}{b} &= \frac{1}{f}-\frac{1}{a}\\ &= \frac{a-f}{af} \end{aligned}

より、

b=\frac{af}{a-f}

となります。

これを倍率の大きさの式に代入すると、

\begin{aligned} M &=\frac{|b|}{a}\\ &=\frac{1}{a}\left|\frac{af}{a-f}\right|\\ &=\left|\frac{f}{a-f}\right| \end{aligned}

となります。

したがって、像距離を個別に計算しなくても、物体距離と焦点距離から倍率を直接求められます。

凸レンズAの焦点距離は正であり、 $a>f_{\mathrm{A}}$ なので、レンズの反対側に実像ができます。

倍率の大きさは、

\begin{aligned} M_{\mathrm{A}} &= \left| \frac{f_{\mathrm{A}}}{a-f_{\mathrm{A}}} \right|\\ &= \left| \frac{0.110}{0.280-0.110} \right|\\ &= \frac{0.110}{0.170}\\ &= \frac{11}{17} \end{aligned}

です。

凹レンズBの焦点距離は負です。倍率の大きさは、

\begin{aligned} M_{\mathrm{B}} &= \left| \frac{f_{\mathrm{B}}}{a-f_{\mathrm{B}}} \right|\\ &= \left| \frac{-0.160}{0.280-(-0.160)} \right|\\ &= \frac{0.160}{0.440}\\ &= \frac{4}{11} \end{aligned}

です。

このとき、

a-f_{\mathrm{B}}>0

かつ $f_{\mathrm{B}}<0$ であるため、像距離

b_{\mathrm{B}}=\frac{af_{\mathrm{B}}}{a-f_{\mathrm{B}}}

は負になります。したがって、凹レンズBによる像は帽子と同じ側にできる虚像です。

二つの倍率の比は、

\begin{aligned} \frac{M_{\mathrm{A}}}{M_{\mathrm{B}}} &= \frac{\frac{11}{17}}{\frac{4}{11}}\\ &= \frac{11}{17}\times\frac{11}{4}\\ &= \frac{121}{68} \end{aligned}

です。

$121$ と $68$ は互いに素なので、

p=121,\qquad q=68

です。したがって、

p+q=121+68=189

となります。

入力すべき自然数は 189 です。

おばけ帽子のレンズ写真館