GBO003 問題10

質量 $M$ の小惑星の中心から距離 $x$ にある、質量 $m$ の物体の万有引力による位置エネルギーは、無限遠を基準とすると、

U(x)=-\frac{GMm}{x}

です。

標準重力パラメータ $\mu=GM$ を用いると、

U(x)=-\frac{\mu m}{x}

と表せます。

負号が付くのは、無限遠で位置エネルギーを $0$ としたとき、万有引力で束縛されている有限距離の物体の位置エネルギーが負になるためです。

射出後のロボットには小惑星の万有引力だけがはたらきます。万有引力は保存力なので、小惑星の表面からゲートまで力学的エネルギーが保存されます。

小惑星の表面では、ロボットの中心からの距離は $R$ です。したがって、射出直後の力学的エネルギーは、

E_{\mathrm{i}} = \frac{1}{2}mv_0^2-\frac{\mu m}{R}

です。

ゲートでは中心からの距離が $r$ なので、力学的エネルギーは、

E_{\mathrm{g}} = \frac{1}{2}mv^2-\frac{\mu m}{r}

です。

力学的エネルギー保存則より、

\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{\mu m}{R} = \frac{1}{2}mv^2-\frac{\mu m}{r}

が成り立ちます。

両辺を $m$ で割り、 $v^2$ について整理すると、

v^2 = v_0^2-2\mu\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{r}\right)

となります。

数値を代入すると、

\begin{aligned} v^2 &= (2.50\times10^3)^2 -2(3.20\times10^{12}) \left( \frac{1}{1.60\times10^6} -\frac{1}{2.40\times10^6} \right)\\ &= 6.25\times10^6 -6.40\times10^{12} \left( \frac{1}{4.80\times10^6} \right)\\ &= 6.25\times10^6 -\frac{4.00}{3}\times10^6\\ &= \frac{14.75}{3}\times10^6\,\mathrm{m^2/s^2} \end{aligned}

です。

$v^2>0$ なので、ロボットはゲートまで到達できます。

脱出速度とは、その位置から出発した物体が、追加の推進を行わずに無限遠まで到達できる最小の速さです。

最小の速さで脱出する場合、無限遠での速さは $0$ になります。また、位置エネルギーも無限遠で $0$ です。したがって、無限遠での力学的エネルギーは、

E_{\infty}=0

です。

ゲートの位置で速さが $v_{\mathrm{esc}}$ であるとき、力学的エネルギー保存則より、

\frac{1}{2}mv_{\mathrm{esc}}^2-\frac{\mu m}{r}=0

が成り立ちます。

これを整理すると、

v_{\mathrm{esc}}^2=\frac{2\mu}{r}

です。

数値を代入すると、

\begin{aligned} v_{\mathrm{esc}}^2 &= \frac{2(3.20\times10^{12})}{2.40\times10^6}\\ &= \frac{8.00}{3}\times10^6\,\mathrm{m^2/s^2} \end{aligned}

となります。

求める比は、

\begin{aligned} \frac{v^2}{v_{\mathrm{esc}}^2} &= \frac{\frac{14.75}{3}\times10^6} {\frac{8.00}{3}\times10^6}\\ &= \frac{14.75}{8.00}\\ &= \frac{59}{32} \end{aligned}

です。

$59$ と $32$ は互いに素なので、

p=59,\qquad q=32

です。したがって、

p+q=59+32=91

となります。

入力すべき自然数は 91 です。

宇宙ネコ便、脱出できるニャ？