GBO002 問題9

検流計の性質を整理する

検流計は、流れる電流が大きくなるほど針の振れが大きくなる装置です。ここでは、検流計に $I_g$Ig​ が流れたときに最大目盛りになるので、どのようなメーターに改造しても、検流計本体に流せる最大電流は $I_g$Ig​ です。

検流計の内部抵抗は $r_g$rg​ なので、最大目盛りのとき検流計の両端電圧はオームの法則より

$$V_g=I_g r_g$$Vg​=Ig​rg​

です。

この電圧 $V_g$Vg​ は、分流器を考えるときに特に重要になります。

分流器をつけて電流計にする

最大目盛り $I_A$IA​ の電流計を作るとき、全体には $I_A$IA​ が流れます。しかし、検流計に流れてよいのは $I_g$Ig​ だけです。したがって、分流器には

$$I_s=I_A-I_g$$Is​=IA​−Ig​

の電流が流れます。

検流計と分流器は並列なので、両端電圧は等しくなります。よって

$$I_g r_g=I_s R_s$$Ig​rg​=Is​Rs​

です。ここに $I_s=I_A-I_g$Is​=IA​−Ig​ を代入すると、

$$R_s=\frac{I_g r_g}{I_A-I_g}$$Rs​=IA​−Ig​Ig​rg​​

となります。

数値を代入すると、

$$R_s=\frac{(2.00\times 10^{-3})\times 45.0}{0.250-2.00\times 10^{-3}}$$Rs​=0.250−2.00×10−3(2.00×10−3)×45.0​

です。したがって

$$R_s=\frac{0.0900}{0.248} =\frac{45}{124}\,\Omega$$Rs​=0.2480.0900​=12445​Ω

となります。

分流器は検流計よりかなり小さい抵抗です。これは、大部分の電流を分流器側に逃がす必要があるためです。

倍率器をつけて電圧計にする

次に、検流計を最大目盛り $V_V$VV​ の電圧計として使う場合を考えます。電圧計では、検流計と倍率器を直列につなぎます。

直列回路では同じ電流が流れるので、最大目盛りのとき全体に流れる電流は $I_g$Ig​ です。このとき、全体の抵抗を $r_g+R_m$rg​+Rm​ とすると、オームの法則より

$$V_V=I_g(r_g+R_m)$$VV​=Ig​(rg​+Rm​)

です。したがって

$$R_m=\frac{V_V}{I_g}-r_g$$Rm​=Ig​VV​​−rg​

となります。

数値を代入すると、

$$R_m=\frac{9.00}{2.00\times 10^{-3}}-45.0$$Rm​=2.00×10−39.00​−45.0

より、

$$R_m=4500-45.0=4455\,\Omega$$Rm​=4500−45.0=4455Ω

です。

倍率器は検流計より大きな抵抗です。これは、電圧計として回路につないだとき、余分な電流を流しすぎないようにするためです。

求める比を計算する

求める量は $R_m/R_s$Rm​/Rs​ です。すでに

$$R_s=\frac{45}{124}\,\Omega$$Rs​=12445​Ω

かつ

$$R_m=4455\,\Omega$$Rm​=4455Ω

なので、

$$\frac{R_m}{R_s} = 4455\div \frac{45}{124} = 4455\cdot \frac{124}{45}$$Rs​Rm​​=4455÷12445​=4455⋅45124​

です。ここで $4455/45=99$4455/45=99 だから、

$$\frac{R_m}{R_s} = 99\times 124 = 12276$$Rs​Rm​​=99×124=12276

となります。

したがって、入力すべき自然数は

$$\boxed{12276}$$12276​

です。