GBO002 問題7

抵抗 $R$R の役割

切り替え後の接続経路には抵抗 $R$R が入っています。これにより、電荷が移動する途中で静電エネルギーの一部がジュール熱として失われます。

したがって、十分に時間が経つと電流は止まり、両方のコンデンサーの電圧が等しい静電的な状態に落ち着きます。ここで大切なのは、最終的な電荷分布は $R$R の大きさには依存しないということです。$R$R は「どれくらいの速さで落ち着くか」と「エネルギーがどこで散逸するか」を決めますが、十分に時間が経ったあとの共通電圧は電荷保存から決まります。

切り替え前の電荷

スイッチを左側に倒して十分に時間が経っているので、$C_1$C1​ は電圧 $V$V まで充電されています。コンデンサーの電荷と電圧の関係は

$$Q=CV$$Q=CV

です。

したがって、切り替え直前に $C_1$C1​ の上側極板にある正電荷は

$$Q_0=C_1V$$Q0​=C1​V

です。一方、$C_2$C2​ は回路から切り離されていたので、初めは電荷をもっていません。

電荷保存から共通電圧を求める

電池を切り離したあとでは、上側極板どうしを含む部分に外部から電荷は供給されません。したがって、上側極板全体の正味の電荷は保存されます。

十分に時間が経ったあとの共通電圧を $V_f$Vf​ とすると、$C_1$C1​ の上側極板の電荷は $C_1V_f$C1​Vf​、$C_2$C2​ の上側極板の電荷は $C_2V_f$C2​Vf​ です。

よって、電荷保存より

$$C_1V=(C_1+C_2)V_f$$C1​V=(C1​+C2​)Vf​

となります。したがって、

$$V_f=\frac{C_1}{C_1+C_2}V$$Vf​=C1​+C2​C1​​V

です。

$C_2$C2​ に移動した電荷

$C_2$C2​ は初め電荷をもっていなかったので、十分に時間が経ったあとに $C_2$C2​ の上側極板にある電荷が、そのまま抵抗 $R$R を通って移動した正味の正電荷量 $q$q になります。

したがって、

$$q=C_2V_f$$q=C2​Vf​

です。先ほど求めた $V_f$Vf​ を代入すると、

$$q=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}V$$q=C1​+C2​C1​C2​​V

となります。

数値代入

与えられた値を代入すると、

$$q=\frac{(4.70\times 10^{-4})(3.30\times 10^{-4})}{4.70\times 10^{-4}+3.30\times 10^{-4}}\times 6.00$$q=4.70×10−4+3.30×10−4(4.70×10−4)(3.30×10−4)​×6.00

です。

分母は

$$4.70\times 10^{-4}+3.30\times 10^{-4} =8.00\times 10^{-4}$$4.70×10−4+3.30×10−4=8.00×10−4

なので、

$$q=1.16325\times 10^{-3}\ \mathrm{C}$$q=1.16325×10−3 C

です。これを $\mu\mathrm{C}$μC 単位に直すと、

$$q=1163.25\ \mu\mathrm{C}$$q=1163.25 μC

となります。

これは

$$1163.25=\frac{4653}{4}$$1163.25=44653​

と表せるので、$p=4653,\ r=4$p=4653, r=4 です。

したがって、入力すべき自然数は

$$4653+4=4657$$4653+4=4657

です。

別解：完全非弾性衝突とのアナロジー

この問題は、力学における完全非弾性衝突と同じ形で見ることもできます。

完全非弾性衝突では、質量 $m_1$m1​ の物体が速さ $v_0$v0​ で動き、静止している質量 $m_2$m2​ の物体に衝突して一体となると、運動量保存より衝突後の共通速度 $v_G$vG​ は

$$v_G=\frac{m_1}{m_1+m_2}v_0$$vG​=m1​+m2​m1​​v0​

です。

この対応を、コンデンサーの問題に置き換えて考えます。対応関係は次のようになります。

• 質量 $m$m に対応するものが、電気容量 $C$C
• 速度 $v$v に対応するものが、電圧 $V$V
• 運動量 $mv$mv に対応するものが、電荷 $CV$CV
• 共通速度 $v_G$vG​ に対応するものが、共通電圧 $V_f$Vf​

すると、衝突後の共通速度の式をそのまま翻訳して、

$$V_f=\frac{C_1}{C_1+C_2}V$$Vf​=C1​+C2​C1​​V

が得られます。

さらに、静止していた物体 $m_2$m2​ が衝突後に得る運動量は

$$\Delta p_2=m_2v_G$$Δp2​=m2​vG​

です。これに対応して、初め電荷をもっていなかった $C_2$C2​ が最終的に得る電荷は

$$q=C_2V_f$$q=C2​Vf​

です。したがって、

$$q=C_2\frac{C_1}{C_1+C_2}V$$q=C2​C1​+C2​C1​​V

より、

$$q=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}V$$q=C1​+C2​C1​C2​​V

となります。これは本解で電荷保存から求めた式と一致します。

アナロジーから見たエネルギーの行方

この類推は、エネルギーの見方にもつながります。

完全非弾性衝突では、運動量は保存されますが、運動エネルギーは一部失われます。失われる運動エネルギーは、換算質量

$$\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$$μ=m1​+m2​m1​m2​​

を用いて

$$\Delta K=\frac{1}{2}\mu v_0^2$$ΔK=21​μv02​

と表せます。

コンデンサーの問題では、これに対応して

$$C_{\mathrm{eq}}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$$Ceq​=C1​+C2​C1​C2​​

が現れます。これは直列接続の合成容量と同じ形であり、力学における換算質量に対応する量と見ることができます。

したがって、切り替えによって失われる静電エネルギー、すなわち抵抗 $R$R で発生するジュール熱は

$$\Delta U=\frac{1}{2}\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}V^2$$ΔU=21​C1​+C2​C1​C2​​V2

です。

このように見ると、抵抗 $R$R は単なる計算上の付け足しではありません。完全非弾性衝突で力学的エネルギーが熱や変形のエネルギーに変わるのと同じように、この回路では静電エネルギーの一部が抵抗でジュール熱に変わります。その結果、電荷の移動が止まり、両コンデンサーの電圧が等しい状態に落ち着くのです。

最終的に、入力すべき自然数は

$$4657$$4657

です。