GBO001 問題4

解説

観測者（探査機）の速度ベクトルを $\vec{v}_{obs}$ 、対象物（ダスト）の速度ベクトルを $\vec{v}_{obj}$ とすると、観測者から見た対象物の相対速度 $\vec{v}_{rel}$ は以下の高校物理の基本公式で表されます。

\vec{v}_{rel} = \vec{v}_{obj} - \vec{v}_{obs}

未知であるダストの絶対速度ベクトルを $\vec{v}_d = (v_x, v_y)$ とおき、探査機AおよびBからの観測結果を用いて連立方程式を立てます。

探査機Aの速度ベクトルは $\vec{v}_A = (V_A, 0)$ です。探査機Aから見たダストの相対速度 $\vec{v}_{d/A}$ は以下のようになります。

\vec{v}_{d/A} = \vec{v}_d - \vec{v}_A = (v_x - V_A, v_y)

問題文より、このベクトルは $(0, -1)$ の向きと平行です。つまり、相対速度の $x$ 成分は $0$ であり、 $y$ 成分は負の値をとります。

v_x - V_A = 0 \quad \implies \quad v_x = V_A

制約 $V_A = 16 \text{ m/s}$ を代入すると、ダストの絶対速度の $x$ 成分が確定します。

v_x = 16 \text{ m/s}

（また、 $v_y < 0$ であることも分かります）

探査機Bの速度ベクトルは $\vec{v}_B = (0, V_B)$ です。探査機Bから見たダストの相対速度 $\vec{v}_{d/B}$ は以下のようになります。

\vec{v}_{d/B} = \vec{v}_d - \vec{v}_B = (v_x, v_y - V_B)

既に $v_x = 16$ であることが分かっているため、代入します。

\vec{v}_{d/B} = (16, v_y - V_B)

問題文より、このベクトルは $(1, -k)$ と同じ向きです。制約 $k = 2$ を代入すると、ベクトル $(1, -2)$ と平行になります。ベクトルの向きが同じであるため、 $x$ 成分と $y$ 成分の比が一致します。

\frac{v_y - V_B}{16} = \frac{-2}{1}

これを解いて $v_y$ を求めます。

v_y - V_B = -32

制約 $V_B = 7 \text{ m/s}$ を代入します。

v_y - 7 = -32 \quad \implies \quad v_y = -25 \text{ m/s}

これにより、ダストの絶対速度ベクトルが $\vec{v}_d = (16, -25)$ であることが確定しました。（ $v_y < 0$ の条件も満たしています）

最後に、探査機Cから見たダストの相対速度を求めます。探査機Cの速度ベクトルは $\vec{v}_C = (-V_C, -V_C)$ です。制約 $V_C = 4 \text{ m/s}$ を代入すると、 $\vec{v}_C = (-4, -4)$ となります。

探査機Cから見た相対速度ベクトル $\vec{v}_{d/C}$ を計算します。

\vec{v}_{d/C} = \vec{v}_d - \vec{v}_C = (16 - (-4), -25 - (-4))

\vec{v}_{d/C} = (16 + 4, -25 + 4) = (20, -21)

求める値は「相対速度の大きさ（速さ）」であるため、ベクトルの絶対値を計算します。

v_{rel, C} = |\vec{v}_{d/C}| = \sqrt{20^2 + (-21)^2}

v_{rel, C} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841}

$29 \times 29 = 841$ であるため、

v_{rel, C} = 29 \text{ m/s}

解答: 29